Вопросы с собеседований в Оксбридже по математике

Двадцать вопросов по математике настоящей сложности, которые помогут Вам подготовиться к собеседованию, — составлены и проиллюстрированы нашими преподавателями, выпускниками Оксбриджа. И Оксфорд, и Кембридж теперь требуют TMUA для математики, так что, готовясь к собеседованию, Вы будете сдавать и его. В наших материалах и прошлых вариантах TMUA собраны все работы с 2016 по 2023 год с критериями оценивания.

Вопрос 1

Покажите, что \( n^5 - n \) делится на 30 при любом целом \( n\).
Показать подсказку

Разберите делимость на 2, 3 и 5 по отдельности. Разложите \( n^5 - n = (n-1)\,n\,(n+1)(n^2+1) \): три последовательных целых числа обязательно дают множители 2 и 3. Для множителя 5 рассмотрите возможные остатки \(n\) при делении на 5 (или вспомните результат Ферма). Покажите, что выражение делится на каждое из чисел 2, 3 и 5.

Вопрос 2

Докажите, что \( \log_2 3 \) иррационально; можно считать, что \( \sqrt{2} \) иррационально.
Показать подсказку

Предположите, что \( \log_2 3 = p/q \) для положительных целых \(p, q\), и перепишите это как равенство, связывающее степень двойки со степенью тройки. Затем спросите, что оно говорит о том, что одна сторона чётна, а другая нечётна.

Вопрос 3

Сколькими нулями оканчивается \( 100! \)?
Показать подсказку

Завершающий нуль возникает из множителя 10, то есть из пары 2 и 5. Поскольку множители 2 встречаются куда чаще, чем множители 5, просто сосчитайте, сколько множителей 5 появляется среди чисел до 100, помня, что 25, 50, 75 и 100 дают больше одного каждое.

Вопрос 4

Докажите, что существует бесконечно много простых чисел вида \( 4n + 3 \)
Показать подсказку

Рассуждайте от противного, в духе Евклида. Предположите, что простых чисел вида \(4n+3\) конечное число, и постройте из них новое число, которое само имеет вид \(4n+3\). Покажите, что у него должен быть простой делитель того же вида, которого нет в Вашем списке.

Вопрос 5
У шахматной доски 8×8 убрали два диагонально противоположных угла. Можно ли замостить её 31 доминошкой?

Показать подсказку

Раскрасьте доску в обычные два цвета и спросите, какого цвета два убранных угла. Затем подумайте, что всегда покрывает одна доминошка, и сравните, сколько клеток каждого цвета осталось.

1×2 domino

Вопрос 6
Какое наибольшее число кусков можно получить из пиццы n прямыми разрезами?

Показать подсказку

Стройте по одному разрезу за раз. Когда Вы добавляете \(k\)-й разрез, сколько существующих разрезов он может пересечь и сколько новых кусков даёт каждое пересечение? Превратите это в рекуррентное соотношение для числа кусков и просуммируйте его.

n straight cuts

Вопрос 7
Вы красите каждую грань куба в свой цвет из набора шести. Сколько существует различных кубов, если повороты считать одинаковыми?

Показать подсказку

Сначала сосчитайте раскраски так, будто куб закреплён в пространстве, не обращая внимания на повороты. Затем учтите, что каждый по-настоящему различный куб можно повернуть так, что он совпадёт с несколькими из этих закреплённых расположений. Сколько поворотов есть у куба?

rotations count as the same

Вопрос 8
n человек садятся случайным образом за круглый стол. Какова вероятность того, что двое определённых людей окажутся рядом?

Показать подсказку

Закрепите одного из этих двоих на месте, а затем спросите, куда может сесть второй. Сколько мест ему доступно и сколько из них находятся непосредственно рядом с первым?

ABn people

Вопрос 9

Вычислите \[ \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}} \]
Показать подсказку

Заметьте, что всё выражение повторяется внутри себя. Приравняйте его к \(x\), что даёт \( x = \sqrt{1+x} \), затем составьте уравнение относительно \(x\) и выберите корень, согласующийся с положительным квадратным корнем.

Вопрос 10

Найдите x, при котором бесконечная башня степеней \[ x^{x^{x^{\cdots}}} = 2 \] Дополнительно: почему требование, чтобы башня равнялась 4, даёт тот же x, и что это говорит Вам о сходимости?
Показать подсказку

Показатель, сидящий на основании, — это снова вся башня целиком, поэтому замените его тем значением, которому башня, как сказано, равна. Это сводит задачу к простому уравнению относительно \(x\). Для дополнительного вопроса повторите тот же шаг, считая, что башня равна 4, сравните оба случая, а затем внимательно подумайте, может ли башня в самом деле сходиться к столь большому значению.

Ещё десять впереди
Хотите потренироваться с выпускником Оксбриджа?

Прочитать вопрос и ответить на него вслух под давлением — очень разные вещи. Наши преподаватели по подготовке к интервью изучали математику в Оксфорде или Кембридже и сами проходили эти интервью: пробные интервью, живая обратная связь и честный взгляд на то, где Вы находитесь.

Поговорите с нами о подготовке к интервью

Вопрос 11

Покажите, что \( x + \dfrac{1}{x} \ge 2 \) при \( x > 0 \), а затем что \[ (a + b + c)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \ge 9 \] при положительных \( a, b, c \).
Показать подсказку

Для первого неравенства рассмотрите \( \left(\sqrt{x} - \tfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 \), которое не может быть отрицательным. Для второго раскройте произведение в девять слагаемых и сгруппируйте их в пары вида \( \tfrac{a}{b} + \tfrac{b}{a} \), а затем примените к каждой паре первый результат.

Вопрос 12

Функция удовлетворяет \( f(x + y) = f(x)\,f(y) \) при всех вещественных \( x, y \) и не равна тождественно нулю. Чем может быть \( f \)?
Показать подсказку

Сначала найдите \( f(0) \), положив \( x = y = 0 \). Затем покажите, что \( f(x) \) никогда не отрицательна, записав \(x\) как сумму двух половин, и спросите, какое знакомое семейство функций превращает сложение аргументов в умножение значений.

Вопрос 13

Вычислите \[ \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)}. \]
Показать подсказку

Разложите общий член на простейшие дроби: \( \tfrac{1}{k(k+1)} = \tfrac{1}{k} - \tfrac{1}{k+1} \). Выпишите сумму в таком виде и проследите, какие слагаемые взаимно уничтожаются.

Вопрос 14

Постройте эскиз графика \( y = x^{x} \) при \( x > 0 \).
Показать подсказку

Запишите \( y = e^{x \ln x} \) и продифференцируйте по правилу цепочки, чтобы найти точку экстремума. Затем исследуйте поведение при стремлении \(x\) к 0 справа и при больших \(x\) и соедините куски в одну кривую.

Вопрос 15

Постройте эскиз графика \( y = \dfrac{\sin x}{x} \)
Показать подсказку

Это чётная функция, поэтому разберите \(x > 0\) и отразите. Найдите значение, к которому она стремится при \(x \to 0\), определите нули и учтите, что размах колебаний задаётся множителем \( \tfrac{1}{x} \).

Вопрос 16

Постройте эскиз кривой \( y^{2} = x^{3} - x \).
Показать подсказку

Поскольку \( y^2 \) не может быть отрицательным, сначала найдите, где \( x^3 - x \) неотрицательно; это задаёт допустимые значения \(x\). Кривая симметрична относительно оси \(x\). Посмотрите, где \( y = 0 \) и как ведут себя допустимые области.

Вопрос 17

Вычислите \[ \int_{0}^{\infty} x\,e^{-x^{2}}\,dx \qquad\text{и}\qquad \int_{0}^{\infty} x^{3}\,e^{-x^{2}}\,dx. \]
Показать подсказку

Для первого интеграла подстановка \( u = x^2 \) превращает его в стандартный показательный интеграл. Для второго та же подстановка оставляет лишний множитель \( x^2 = u \), после чего его можно завершить интегрированием по частям.

Вопрос 18

Сколько вещественных решений имеет \( 2^{x} = x^{2} \)?
Показать подсказку

Постройте \( y = 2^x \) и \( y = x^2 \) в одних осях и сосчитайте точки пересечения. Два пересечения легко найти, подставив небольшие целые числа; для третьего нужно посмотреть на отрицательные \(x\), где одна кривая остаётся положительной, а другая растёт.

Вопрос 19

Чему равно \( i^{\,i} \)?
Показать подсказку

Запишите \(i\) в виде \( e^{i\theta} \) для подходящего угла, а затем возведите в степень \(i\). Проследите, что происходит, когда \(i\) умножается на \(i\) в показателе, и помните, что допустимых значений угла больше одного.

Вопрос 20

Вычислите \[ \int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{1 + \tan x}. \]
Показать подсказку

Примените подстановку, заменяющую \(x\) на \( \tfrac{\pi}{2} - x \) на этом промежутке, и сложите новый интеграл с исходным. Вместе они дают нечто очень простое, откуда значение считывается сразу.

Подготовка к интервью

Подсказки помогают начать. Трудное — само интервью.

Расскажите, на каком Вы этапе, и мы ответим честным взглядом на то, какая подготовка помогла бы, — включая то, нужна ли она Вам вообще.

—Пробные интервью с выпускниками Вашей программы.
—Ответ от консультанта, а не от отдела продаж.
—Мы скажем прямо, если считаем, что мы Вам не нужны.

Хотите просто спросить? Напишите нам в WhatsApp: +44 7404 929213.


    Эти вопросы оказались полезными? Посмотрите наши другие материалы:

    Примеры мотивационных писем по математике

    Отрывки «до и после», показывающие, что на самом деле ищут преподаватели математики, с разбором.

    Перейти к мотивационным письмам по математике

    Пробные тесты TMUA

    Тренируйте TMUA на время с оригинальными заданиями и мгновенной проверкой.

    Перейти к пробным тестам TMUA

    Поступление в Оксфорд и Кембридж

    Комплексная подготовка к Оксбриджу, включая работу над интервью, от выпускников Кембриджа.

    Познакомиться с нашей услугой по Оксбриджу