数学 オックスブリッジ面接質問
オックスブリッジ卒のチューターが作成・図解した、面接対策のための本番レベルの数学20問。
質問1
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2・3・5による割り切れを別々に扱いましょう。\( n^5 - n = (n-1)\,n\,(n+1)(n^2+1) \) と因数分解すると、3つの連続する整数が2と3の因数を保証します。5の因数については、\(n\) を5で割った余りの可能性を考えるか、フェルマーの結果を思い出しましょう。式が2・3・5のそれぞれで割り切れることを示してください。
質問2
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正の整数 \(p, q\) について \( \log_2 3 = p/q \) と仮定し、それを2のべき乗と3のべき乗を結ぶ等式に書き換えましょう。そのうえで、一方が偶数でもう一方が奇数であることが何を意味するか考えてください。
質問3
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末尾の0は10の因数、つまり2と5のペアから生まれます。2の因数は5の因数よりはるかに多いので、100までの数に5の因数がいくつ現れるかを数えるだけで十分です。25、50、75、100がそれぞれ複数個を寄与することを忘れずに。
質問4
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ユークリッドの精神で、背理法により論証しましょう。\(4n+3\) の形の素数が有限個しかないと仮定し、それらから、それ自体が \(4n+3\) の形になる新しい数を作ります。その数が、同じ形でありながらリストに載っていない素因数を持たざるをえないことを示してください。
質問5
8×8のチェス盤から対角の隅2マスを取り除きます。31枚のドミノで敷き詰められますか？
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盤面をいつもの2色で塗り分け、取り除かれた2つの隅が何色かを考えましょう。次に、1枚のドミノが必ず覆うものを考え、残った各色のマスの数を比べてみてください。
質問6
n本の直線でピザを切るとき、最大何切れに分けられますか？
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1本ずつ切りながら組み立てましょう。\(k\)本目の切り込みを加えるとき、既存の切り込みと何回交差でき、各交差はいくつの新しいピースを生みますか？それをピース数の漸化式にして、和を取りましょう。
質問7
6色のセットから立方体の各面を異なる色で塗ります。回転して同じになるものを同一とみなすと、異なる立方体は何通りありますか？
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まず、立方体が空間に固定されているとみなし、回転を無視して塗り方を数えましょう。次に、本当に異なる各立方体が、回転によってその固定配置のいくつかと同じに見えることを考慮します。立方体の回転は何通りありますか？
質問8
n人が円卓にランダムに座ります。特定の2人が隣り合う確率はいくつですか？
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2人のうち1人を席に固定し、2人目がどこに座れるかを考えましょう。座れる席はいくつあり、そのうち1人目のすぐ隣は何席ですか？
質問9
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式全体が自分自身の中に再び現れることに注目しましょう。それを \(x\) とおくと \( x = \sqrt{1+x} \) が得られます。そこから \(x\) の方程式を立て、正の平方根と整合する根を選んでください。
質問10
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底の上に載っている指数は、タワー全体そのものです。そこで、それをタワーが等しいとされる値で置き換えましょう。すると問題は \(x\) の単純な方程式に潰れます。発展問題では、タワーが4に等しいと仮定して同じ手順を繰り返し、両者を比べ、そのうえで、タワーが本当にそこまで大きな値に収束できるのかを注意深く考えてください。
質問11
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最初の不等式は、負になりえない \( \left(\sqrt{x} - \tfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 \) を考えましょう。2つ目は、積を9つの項に展開し、\( \tfrac{a}{b} + \tfrac{b}{a} \) の形のペアにまとめてから、各ペアに最初の結果を適用してください。
質問12
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まず \( x = y = 0 \) とおいて \( f(0) \) を求めましょう。次に \(x\) を半分ずつの和として書くことで \( f(x) \) が決して負にならないことを示し、入力の足し算を出力の掛け算に変えるおなじみの関数族はどれかを考えてください。
質問13
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一般項を部分分数に分解します：\( \tfrac{1}{k(k+1)} = \tfrac{1}{k} - \tfrac{1}{k+1} \)。これを使って和を書き出し、どの項が打ち消し合うか見てみましょう。
質問14
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\( y = e^{x \ln x} \) と書き、連鎖律で微分して極値の位置を求めましょう。次に \(x\) が右から0に近づくときと大きくなるときの挙動を調べ、それらをひとつの曲線につなぎ合わせてください。
質問15
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偶関数なので、\(x > 0\) について考えてから折り返しましょう。\(x \to 0\) のときに近づく値を求め、ゼロ点の位置を特定し、振動の大きさが \( \tfrac{1}{x} \) に支配されることに注目してください。
質問16
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\( y^2 \) は負になれないので、まず \( x^3 - x \) が非負になる場所を求めましょう。それで許される \(x\) の値が決まります。曲線は \(x\) 軸について対称です。\( y = 0 \) となる場所と、許される領域の振る舞いを見てください。
質問17
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最初の積分は、置換 \( u = x^2 \) で標準的な指数関数の積分に変わります。2番目も同じ置換で \( x^2 = u \) の因子が残るので、そこから部分積分で仕上げられます。
質問18
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\( y = 2^x \) と \( y = x^2 \) を同じ座標軸に描き、交わる場所を数えましょう。2つの交点は小さな整数を試せばすぐ見つかります。3つ目は負の \(x\) を見る必要があります。そこでは一方の曲線が正のままで、もう一方が上昇していきます。
質問19
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\(i\) を適切な角度で \( e^{i\theta} \) の形に書き、それを \(i\) 乗しましょう。指数の中で \(i\) と \(i\) が掛け合わさると何が起こるかに注目し、角度の選び方が一通りではないことを忘れないでください。
質問20
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この区間で \(x\) を \( \tfrac{\pi}{2} - x \) に置き換える置換を使い、新しい積分を元の積分に足しましょう。2つが組み合わさってとても単純な形になり、そこから値が読み取れます。
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ヒントは入り口にすぎません。本番の数学オックスブリッジ面接で問われるのは、プレッシャーの中で声に出して推論する力です。オックスブリッジ卒のチューターが、本番さながらのマンツーマン模擬面接を行い、全問題の背後にある考え方を一緒にたどり、良い答えを合格に変えるフィードバックを提供します。