物理 オックスブリッジ面接質問
オックスブリッジ卒のチューターが作成・図解した、明快な図と任意のヒント付きの本番レベル物理20問。
質問1
バスケットボールの上にテニスボールを載せ、静止状態から同時に落とします。テニスボールはどこまで高く跳ねますか？
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2つの衝突を順番に扱いましょう。まずバスケットボールが床に当たって反転し、次に、まだ落下中のテニスボールと衝突します。その瞬間のバスケットボールの座標系で考え、はるかに重い球から跳ね返る軽い球について運動量とエネルギーの保存を適用します。テニスボールが衝突速度の何倍で飛び出せるかを見て、その速さを高さに戻してください。
質問2
縁まで水の入ったグラスに氷が浮かんでいます。氷が溶けると、水はあふれますか、下がりますか、変わりませんか？
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浮かぶ物体は自分の重さの分だけ水を押しのけます。浮かぶ氷が押しのける水の体積と、氷が溶けてできる水の体積を比べましょう。この2つの体積が同じかどうかを問い、氷から水への密度の変化が何を意味するかを考えてください。
質問3
質量mのバンジージャンパーが、自然長L・ばね定数kのロープで、H下の穴の上のプラットフォームから飛び降ります。安全を保てる最長のロープはどれですか？
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プラットフォームと最下点の間でエネルギー保存を使いましょう：失われた重力の位置エネルギーは、ロープに蓄えられた弾性エネルギーに等しくなります。ロープは落下が自然長Lを超えて初めて伸び始めるので、伸びを全落下距離で表します。限界の場合として、最下点をちょうど穴の底（深さH）に置き、Lについて解いてください。
質問4
地球の中心をまっすぐ貫くトンネルを掘り、ボールを落とします。その運動を説明し、反対側に到達するまでの時間を求めてください。
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一様な球の内部では、あなたより中心に近い質量だけが内向きに引くので、重力はあなたと中心の距離に比例して大きくなります。変位に比例する復元力は単振動の証です。実効的な「ばね定数」を特定し、周期を書き下し、片道の旅がその半分であることを忘れないでください。
質問5
地球が突然公転を止めたら、太陽に落ちるまでどのくらいかかりますか？
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まっすぐな落下を、太陽を焦点のひとつとする、極端に細く潰れた楕円として扱いましょう。すると半長軸は元の軌道半径の半分になります。ケプラーの第三法則を適用してこの退化した軌道の周期を地球の実際の1年と関係づけ、落下はその周期の半分にすぎないことに注意してください。
質問6
体重は北極と赤道のどちらで重くなりますか？
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赤道では、極にはない2つの効果が働きます。第一に、赤道上の点は地球の自転とともに円運動をしているため、重力の一部が向心力の供給に「使われ」、体重計に載る分が減ります。第二に、赤道の膨らみにより、中心からわずかに遠くなります。それぞれの効果が読みをどちらに押すかを考えましょう。
質問7
12個の同一の抵抗Rが立方体の辺をなしています。対角に向かい合う2頂点間の抵抗はいくつですか？
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回路網全体を解こうとしないでください。代わりに対称性を使いましょう。AとBを結ぶ対角線に関する立方体の対称性から、いくつかの頂点はまったく同じ電位に位置するはずです。その等電位の点を頭の中でつなぐと、12個の抵抗は単純な並列グループの短い鎖に潰れます。
質問8
地球の大気の総質量を概算してください。
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地表の大気圧は、単位面積の上にある空気柱の重さを、その面積で割ったものにすぎません。式を並べ替えて、地表の気圧と地球の表面積から大気全体の重さを求め、gで割って質量を出しましょう。地球の半径と標準大気圧が必要になります。
質問9
チョコレートバー1本分のエネルギーで、おおよそどのくらいの高さまで登れますか？
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バーの利用可能な化学エネルギーを、得られる重力の位置エネルギーmghと等しいとおきましょう。バーのエネルギー（ラベルにはおよそ1000 kJとあります）と自分の体重を見積もり、そして皆が忘れるステップ——筋肉が食物エネルギーを高さに変換する効率はわずか5分の1程度——を忘れずに。仮定はそのつど明示しましょう。
質問10
砂時計を高感度の秤に載せてひっくり返します。砂が落ちている間、秤の値は一定のままですか？
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力は運動量の変化率なので、載っている砂だけでなく、すべての砂を考慮しなければなりません。定常流の間は、読みから「消えている」空中の砂の重さが、着地する砂の力積と釣り合っています。面白いのは、定常流が始まる前のごく最初と、止まった後のごく最後です。
質問11
スリンキーの上端を持って静止させ、そっと放します。放した直後、スリンキーの下端はどうなりますか？
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放した直後の最下部のコイルにかかる力を見ましょう。直前まで、それは釣り合っていました。重さは、上に伸びたコイルが引き上げる力と釣り合っていたのです。その上向きの張力は瞬時には消えず、崩れ落ちる上部が底に届くまで持続します。そのうえで、スリンキー全体の重心が何をしているはずかを別途考えてください。
質問12
低軌道の人工衛星はわずかな大気抵抗を受けます。速くなりますか、遅くなりますか？
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速さとエネルギーを分けて考えましょう。円軌道では、軌道速度は半径で決まり、全エネルギーは負で、軌道が縮むほど絶対値が大きくなります。抵抗はエネルギーを奪うので、軌道はより小さな半径へ落ちていきます。では、その小さな半径が速さに何をもたらすかを導いてください。
質問13
充電済みのコンデンサーを、同一の未充電のコンデンサーにつなぎます。前後の総蓄積エネルギーを比較してください。何か意外な点は？
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スイッチを閉じても電荷は保存されるので、合成静電容量に広がった総電荷から共通の最終電圧を求めましょう。次に前後の ½CV² のエネルギーを比べます。一部が消えていることに気づくはずです。どこへ行ったのかを正確に突き止めるのが、この問題の醍醐味です。
質問14
同一の抵抗Rで無限のはしご回路を作ります：直列のR、次にレールへの並列のR、これが永遠に続きます。全体の抵抗はいくつですか？
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自己相似性を活用しましょう：最初の区画の先にある回路網は、全体とまったく同じです。全体の抵抗をXとおき、最初の直列Rと並列Rだけを描き直して、後に続くすべてを1個の抵抗「X」で代用します。そうすればXを自分自身の式で書け、解くべき二次方程式が得られます。
質問15
一様な鎖を、下端がテーブルに触れる高さで垂直に持ち、放します。長さxが積もったとき、鎖がテーブルに及ぼす力はいくつですか？
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テーブルでは2つの寄与が足し合わされます：すでに載っている鎖の重さと、なお落ちてくる環を止めるのに必要な力です。到着する鎖について、力を運動量の変化率（単位長さあたりの質量×速さ×もう一度速さ）として使い、その速さをすでに落ちた距離と関係づけましょう。合計を、静止した重さだけの場合と比べてください。
質問16
直立して浮かぶ円筒形のブイを少し押し下げて放します。その運動を説明し、周期を求めてください。
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ブイを小さな距離xだけ押し下げ、追加の上向きの力を求めましょう。それは追加で押しのけられた水の重さで、xに比例します。変位に比例する復元力は単振動を意味するので、断面積と水の密度から実効的な「ばね定数」を読み取り、周期を書き下してください。
質問17
高さh₀から落としたボールは、跳ね返るたびに反発係数eを持ちます。静止するまでの総移動距離と総時間を求めてください。
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反発係数eは、高さが速さの2乗に依存するため、各バウンドでボールが前の高さのe²倍まで戻ることを意味します。連続する高さは等比数列をなすので、最初の落下に注意しつつ総距離について和を取りましょう。総時間については、各上下運動の所要時間を求め、その等比数列も足し合わせてください。
質問18
静止した雲の中を雨粒が落下し、霧を取り込みながら成長します。一定の加速度で落下しうることを示し、その加速度を求めてください。
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ニュートンの第二法則を完全な形——力は運動量の変化率——で書きましょう。雨粒が霧を取り込むにつれて質量は増え、その増加率は雨粒の大きさと速さに依存します。次に、加速度が一定の自己相似解を探しましょう：それを代入し、方程式と整合する一定の加速度がどれかを求めてください。
質問19
質量のないロープが摩擦のない滑車にかかっています。片端をサルが握り、もう一方はちょうど同じ重さのバナナの房が釣り合っています。サルが登り始めると、バナナはどうなりますか？
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張力はロープの両側で同じで、2つの質量は等しいです。ニュートンの第二法則をサルとバナナに別々に適用しましょう：サルが登るために加える余分な引きは、張力を通じてバナナにも等しく伝わります。両者の加速度を比べ、ニュートンの第三法則をしっかり念頭に置いてください。
質問20
小さな池にボートを浮かべ、重い岩を抱えています。岩を水に投げ込むと、池の縁の水位は上がりますか、下がりますか、変わりませんか？
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2つの状態を比べましょう。ボートの中にある間、岩はボートを介して浮かんでおり、自分の重さの分だけ水を押しのけます。底に沈むと、自分の体積の分しか押しのけません。岩は水より密度が高いので、どちらの排水量が大きいかを判断すれば、水位がどちらに動くかが分かります。
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ヒントは入り口にすぎません。本番の面接で問われるのは、プレッシャーの中で声に出して推論する力です。オックスブリッジ卒のチューターが、本番さながらのマンツーマン模擬面接を行い、全問題の背後にある考え方を一緒にたどり、良い答えを合格に変えるフィードバックを提供します。