牛剑数学面试问题

二十道真实难度的数学题，帮助你为面试做好准备，由我们的牛剑毕业的导师编写并配图。

问题1

证明对于任意整数 \( n \)，\( n^5 - n \) 都能被 30 整除。

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分别讨论被 2、3 和 5 整除的情况。因式分解 \( n^5 - n = (n-1)\,n\,(n+1)(n^2+1) \)：三个连续整数保证了 2 和 3 的因子。对于因子 5，考虑 \(n\) 除以 5 时所有可能的余数（或回顾费马的一个结论）。证明该表达式能被 2、3 和 5 分别整除。

问题2

证明 \( \log_2 3 \) 是无理数；你可以假设 \( \sqrt{2} \) 是无理数。

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假设 \( \log_2 3 = p/q \)，其中 \(p, q\) 为正整数，并将其改写为一个联系 2 的幂与 3 的幂的等式。然后思考：等式的一边为偶数而另一边为奇数，这说明了什么？

问题 3

\( 100! \) 的末尾有多少个零？

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末尾的 0 来自因子 10，也就是一对 2 和 5。由于因子 2 远比因子 5 常见，只需数一数从 1 到 100 的各个数中一共含有多少个因子 5，同时记住 25、50、75 和 100 各自贡献的都不止一个。

第4题

证明：形如 \( 4n + 3 \) 的质数有无穷多个。

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仿照欧几里得的思路，用反证法来论证。假设形如 \(4n+3\) 的素数只有有限多个，并利用它们构造出一个新的数，这个数本身也形如 \(4n+3\)。证明它必然有一个同样形式的素因子，且该素因子不在你的列表中。

问题5
一个8×8的棋盘被移除了两个对角。能否用31块多米诺骨牌将其铺满？

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用通常的两种颜色给棋盘染色，看看被移除的两个角分别是什么颜色。然后思考一块多米诺骨牌总是覆盖什么颜色组合，再比较每种颜色剩下的方格数量。

第 6 题
用 n 条直线切一个披萨，最多能切成多少块？

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一刀一刀地逐步构造。当加入第 \(k\) 刀时，它能与已有的多少刀相交，每次相交又会新增几块披萨？把它转化为披萨块数的递推关系，再求和。

第 7 题
用六种颜色给立方体的每个面各涂一种不同的颜色。如果把旋转后相同的涂色视为同一种，一共有多少种不同的立方体？

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先假设立方体固定不动、忽略旋转，数一数共有多少种涂色方式。再考虑到每个真正不同的立方体都可以旋转成上述固定摆放中的多种样子。一个立方体有多少种旋转？

第 8 题
n 个人随机围坐在一张圆桌旁，其中两个特定的人彼此相邻的概率是多少？

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先让这两个人中的一个人坐在某个座位上，然后看另一个人能坐在哪里。他有多少个座位可选，其中又有多少个紧挨着第一个人？

第 9 题

求值 \[ \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}} \]

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注意整个表达式会在自身内部再次出现。令它等于 \(x\)，得到 \( x = \sqrt{1+x} \)，于是整理成关于 \(x\) 的方程，并选取与正平方根相符的那个根。

第 10 题

求 \(x\)，使得无限幂塔 \[ x^{x^{x^{\cdots}}} = 2 \] 追问：为什么令幂塔等于 4 会得到相同的 \(x\)？这又说明了关于收敛性的什么问题？

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底数上的指数又是完整的幂塔本身，所以用幂塔所等于的那个值来替换它。这样一来，问题就化简为一个关于 \(x\) 的简单方程。对于追问部分，先假设幂塔等于 4，重复同样的步骤，比较两种情况，然后仔细想想：幂塔真的能收敛到那么大的值吗？

还有十道

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第 11 题

证明：当 \( x > 0 \) 时，\( x + \dfrac{1}{x} \ge 2 \)；再证明：对于正数 \( a, b, c \)，有 \[ (a + b + c)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \ge 9 \]。

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对于第一个不等式，考虑 \( \left(\sqrt{x} - \tfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 \)，它不可能为负。对于第二个不等式，把乘积展开成九项，并按 \( \tfrac{a}{b} + \tfrac{b}{a} \) 的形式两两配对，然后对每一对应用第一个结论。

第 12 题

设一个函数对所有实数 \( x, y \) 都满足 \( f(x + y) = f(x)\,f(y) \)，并且不恒等于零。这个 \( f \) 可能是什么函数？

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先令 \( x = y = 0 \)，求出 \( f(0) \)。再把 \(x\) 写成两个 \(\tfrac{x}{2}\) 的和，证明 \( f(x) \) 永不为负，并想一想：哪个常见的函数族能把自变量的相加变成函数值的相乘？

第 13 题

求 \[ \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)}. \]

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使用部分分式分解通项：\( \tfrac{1}{k(k+1)} = \tfrac{1}{k} - \tfrac{1}{k+1} \)。将求和式按此展开，观察哪些项相互抵消。

问题14

画出 \( y = x^{x} \) 在 \( x > 0 \) 时的图像。

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令 \( y = e^{x \ln x} \)，然后用链式法则求导以找到极值点。接着考察当 \(x\) 从右侧趋近 0 时以及当 \(x\) 变得很大时的函数行为，并将各部分拼成一条完整的曲线。

第15题

画出 \( y = \dfrac{\sin x}{x} \) 的草图

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这是一个偶函数，因此只需分析 \(x > 0\) 的情况，再作对称即可。求出 \(x \to 0\) 时它趋近的值，确定零点，并注意振荡的幅度由 \( \tfrac{1}{x} \) 控制。

问题 16

画出曲线 \( y^{2} = x^{3} - x \)。

显示提示

由于 \( y^2 \) 不能为负，先找出 \( x^3 - x \) 为非负的范围；这决定了哪些 \(x\) 值可取。曲线关于 \(x\) 轴对称。观察 \( y = 0 \) 的位置，以及可取区域的形态。

问题 17

计算 \[ \int_{0}^{\infty} x\,e^{-x^{2}}\,dx \qquad\text{和}\qquad \int_{0}^{\infty} x^{3}\,e^{-x^{2}}\,dx. \]

显示提示

对于第一个积分，作代换 \( u = x^2 \) 可将其化为标准的指数积分。对于第二个积分，同样的代换会留下一个额外的因子 \( x^2 = u \)，之后用分部积分即可完成。

问题 18

方程 \( 2^{x} = x^{2} \) 有多少个实数解？

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在同一坐标系中画出 \( y = 2^x \) 和 \( y = x^2 \) 的草图，数一数它们相交的位置。试几个小的整数就能轻松找到两个交点；第三个交点需要你考虑负的 \(x\)，此时一条曲线保持为正，另一条则在上升。

问题 19

\( i^{\,i} \) 等于多少？

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把 \(i\) 写成 \( e^{i\theta} \) 的形式，选取合适的角度，然后对它取 \(i\) 次幂。注意当指数中的 \(i\) 与 \(i\) 相乘时会发生什么，并记住角度的取法不止一种。

第20题

计算 \[ \int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{1 + \tan x}. \]

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在这个区间上作换元，把 \(x\) 换成 \( \tfrac{\pi}{2} - x \)，再把新得到的积分与原积分相加。两者合并后会变得非常简单，结果可以直接读出。

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