數學牛劍面試問題

二十個真正難度的數學題目，幫助您為面試做好準備，由牛劍畢業的導師撰寫及插圖。

問題 1

證明 $ n^5 - n $ 對於每個整數 $ n $ 都能被 30 整除。

顯示提示

分別以 2、3 和 5 進行可整除性。將 $ n^5 - n = (n-1)\,n\,(n+1)(n^2+1) $ 的因式分解：三個連續整數強制具有 2 和 3 的因子。對於因子 5，考慮 $n$ 除以 5 時的可能餘數（或回顧費馬特的結果）。顯示該表達式能被每個 2、3 和 5 的因子所整除。

問題 2

證明 $ \log_2 3 $ 不是有理數；您可以假設 $ \sqrt{2} $ 是有理數。

顯示提示

假設 $ \log_2 3 = p/q $ 為正整數 $p, q$，並將其重寫為與 2 的力量相關的方程。然後詢問它說明哪一邊是偶數，而另一邊是奇數。

問題 3

100! 末尾有多少個零？

提示

尾數零來自一個因數 10，即 2 和 5 的配對。由於 2 的因數遠比 5 的因數更常見，只需計算 100 以內的 5 的因數數量，並記住 25、50、75 和 100 各貢獻一個以上的因數 5。

問題 4

證明有無限多個符合形式 4n + 3 的素數

顯示提示

採用歐幾裡得的反證法，假設只有有限多個符合形式 4n + 3 的素數存在，然後從這些素數中建立一個新的數字，使其符合形式 4n + 3。證明這個數字必須有一個與您清單上的素數相同的形式 4n + 3，但不在您的清單中。

問題 5
一個 8×8 的棋盤，有兩個對角的角點被移除。它可以用 31 個三角形拼貼紙覆蓋嗎？

顯示提示

使用平常的兩種顏色來顏色這個棋盤，然後詢問被移除的兩個角點是什麼顏色。接著思考哪個三角形拼貼紙在每次覆蓋時總是會覆蓋什麼，然後比較剩下的每種顏色的方格數量。

問題 6
一個長方形可以用 n 個直線劃分成多少塊？

提示

逐步建構。當你加入第 k 切時，它可以跨越多少個現有的切？它會創造多少個新的區塊？將這轉化為區塊數的遞迴，然後加總。

問題 7
你用六種顏色為一個立方體著色，每個面都不同顏色。有多少個獨特的立方體，計畫旋轉為同一樣式？

提示

首先，將立方體視為不會旋轉的情況，計算顏色配置的數量。然後考慮每個真正獨特立方體可以旋轉成多少個固定配置。立方體有多少個旋轉？

問題 8
有 n 個人隨機坐在一個圓桌上。有什麼是兩個特定的人坐在一起的機率?

提示

固定其中一個人的座位，然後詢問第二個人的座位。他們可以坐在哪裡？有多少個座位可以讓他們坐在一起？有多少個座位是直接旁邊第一個人的座位？

問題 9

評估 \[ \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}} \]

提示

請注意整個表達式在其中包含自己。將其設為等於 x，得到 x = √(1 + x)，然後形成一個在 x 上的方程，並選擇與正平方根相符的根數。

問題 10

在無限的力量塔中，找到一個滿足 x^(x^(x^...)) = 2 的 x。後續：為什麼要求塔等於 4 給出相同的 x，且這對收斂有什麼啟示？

提示

在底上方的指數是整個塔的指數，因此將其設為塔所說的值。這將使問題縮小到一個簡單的 x 方程。對於後續問題，請重複此步驟，假設塔等於 4，然後比較這兩個結果，並仔細思考一座塔是否可以收斂到一個那麼大的值。

問題 11

證明 $ x + \dfrac{1}{x} \ge 2 $ 對於正實數 $ x $,然後證明對於正實數 $ a、b、c $, \[ (a + b + c)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \ge 9 \] 也是成立的。

提示

對於第一個不等式，考慮 $ \left(\sqrt{x} - \tfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 $,它不可能為負。對於第二個，將其擴充套件成九個項，並將它們分組成以 $ \tfrac{a}{b} + \tfrac{b}{a} $ 的形式的對，然後將每個對應用第一個結果。

問題 12

某函數對所有實數 $ x, y $ 滿足 $ f(x + y) = f(x)\,f(y) $，且不恆為零。$ f $ 可能是什麼？

顯示提示

先令 $ x = y = 0 $ 求出 $ f(0) $。接著把 $x$ 寫成兩個一半的和，證明 $ f(x) $ 永不為負，然後問問自己：哪一族熟悉的函數會把輸入的相加變成輸出的相乘？

Question 13

Evaluate \[ \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)}. \]

提示顯示

使用分數分解：$ \tfrac{1}{k(k+1)} = \tfrac{1}{k} - \tfrac{1}{k+1} $。將和寫出來，並觀察哪些項會取消。

問題 14

繪製 $y = x^{x}$，其中 $x > 0$。

提示顯示

將 $y = e^{x \ln x}$ 寫出來，並使用鏈式規則進行微分，以找到轉折點。然後，觀察 $x$ 從右邊接近 0，以及 $x$ 大量增長時的行為，並將它們連接成單條曲線。

問題 15

繪製函數 $ y = \dfrac{\sin x}{x} $

提示

它是一個偶函數，因此工作出 $ x > 0 $ 和反射。找到它隨著 $ x $ 接近 0 的值，找到零點，並注意振幅的大小受到 $ \tfrac{1}{x} $ 的控制。

問題 16

繪製曲線 \( y^{2} = x^{3} - x .

提示

由於 $ y^2 $ 無法為負，首先找到 $ x^3 - x $ 的非負區域；這將確定允許的 $x$-值。曲線對 $x$-軸對稱。檢查 $ y = 0 $ 的地方，以及允許區域的行為。

問題 17

求 \[ \int_{0}^{\infty} x\,e^{-x^{2}}\,dx \qquad\text{與}\qquad \int_{0}^{\infty} x^{3}\,e^{-x^{2}}\,dx. \]

顯示提示

第一個積分，代換 $ u = x^2 $ 會把它變成標準的指數積分。第二個積分，同樣的代換會多出一個 $ x^2 = u $ 的因子，接著用分部積分即可完成。

Question 18

How many real solutions does $ 2^{x} = x^{2} $ have?

顯示提示

在同一座標軸上畫出 $ y = 2^x $ 與 $ y = x^2 $，數數它們相交幾次。試幾個小整數就能輕鬆找到兩個交點；第三個交點需要你看負的 $x$：那裡一條曲線保持為正，另一條則不斷上升。

問題 19

什麼是 $ i^{\,i} $?

提示

將 $i$ 以適當的角度寫成 $ e^{i\theta} $,然後將其提升到 $i$ 的功率。觀察當 $i$ 在指數中相乘時會發生什麼情況，並記住有多個有效的角度選擇。

問題 20

評估 \[ \int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{1 + \tan x}. \]

提供提示

使用替換法，將 x 替換為 \tfrac{\pi}{2} - x 在此區間上，並將新積分與原積分相加。這兩者結合成非常簡單的東西，讓您可以直接閱讀答案。

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